Quantità di moto

• Si definisce quantità di moto di un punto materiale che si muove con velocità \(\vec{v}\): \[\begin{aligned} \vec p = m * \vec v \end{aligned} \]
• Se la massa è costante: \[\begin{aligned} \vec F = \frac{d\vec p}{dt} \end{aligned} \]

Teorema dell'impulso

• Dalla relazione precedente si osserva che l'azione di una forza durante un intervallo di tempo dt provoca una variazione infinitesima della quantità di moto: \[\begin{aligned} \vec F * dt = d\vec p \end{aligned} \]
• In termini finiti (integrando) si ha: \[\begin{aligned} \vec J = \int_{0}^{t} \vec F * dt = \int_{p_0}^{p} d\vec p = \vec p - \vec p_0 = \Delta \vec p \end{aligned} \]
• Il termine vettoriale \(\vec J\) è chiamato impulso della forza ed esprime il teorema dell'impulso:
  l'impulso di una forza applicata ad un punto materiale provoca la variazione della sua quantità di moto.

Forza di attrito radente

• Supponiamo di applicare una forza orizzontale su un corpo poggiato su un piano: si osserva che il corpo non entra in movimento finché la forza non supera un valore pari a:
  
  \( \vec F_{as} = \mu_s * \vec N \) (forza di attrito statico)
• Quando il corpo entra in movimento si osserva una forza costante che si oppone al moto pari a:
  \( \vec F_{ad} = \mu_d * \vec N \) (forza di attrito dinamico)
• Si verifica che la forza di attrito radente statico è sempre maggiore della forza di attrito radente dinamico, cioè: \[\begin{aligned} \mu_{s} > \mu_{d} \end{aligned} \]

Legge di Hooke

• Robert Hooke, 1675, Ut tensio sic vis (Come l'estensione, così la forza).
• L'allungamento subìto da un corpo elastico è direttamente proporzionale alla forza ad esso applicata.

• La costante di proporzionalità viene detta costante elastica e dipende dalla natura del materiale stesso. \[ E = \frac{\sigma}{\epsilon},\quad \sigma: \text{ sforzo},\quad \epsilon = \frac{\Delta l}{l}: \text{ deformazione} \]

Forza elastica

• Si definisce forza elastica una forza di:
  • direzione costante
  • verso rivolto sempre ad un punto O
  • Modulo direttamente proporzionale alla distanza da O \[\begin{aligned} \vec F = -k * x * \vec i \end{aligned} \]
  • Si dimostra che il moto di un punto soggetto ad una forza elastica è un moto armonico semplice: \[\begin{aligned} x = A \cos {(\omega * t + \phi)} \end{aligned} \] con pulsazione: \[\begin{aligned} \omega = \sqrt \frac{k}{m} \end{aligned} \]

Legge oraria di un corpo soggetto alla forza elastica

• Per trovare la legge oraria basta risolvere questa equazione differenziale: \[ \frac{d^2x(t)}{dt^2} = -\frac{k}{m}x(t) = -\omega^2 x(t), \quad \text{ con } \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
• Si dimostra che l'equazione: \[ x = A \cos {(\omega * t + \phi)} \] è soluzione dell'equazione differenziale \(\frac{d^2x(t)}{dt^2} = -\omega^2 x(t)\).

Pendolo semplice

• Il pendolo semplice è costituito da un punto materiale P appeso tramite un filo inestensibile di lunghezza L e di massa trascurabile.
• Le forze agenti sul punto P sono il peso \(\vec P\) e la tensione del filo \(\vec T\),
  quindi la seconda legge della dinamica sarà: \[\begin{aligned} \vec R = \vec P + \vec T = m * \vec a \end{aligned} \]
• Si dimostra che per piccole oscillazioni il periodo di una oscillazione completa vale: \[\begin{aligned} T = 2 * \pi * \sqrt{\frac{L}{g}} \end{aligned} \]

Pendolo semplice: ricaviamo T (1/3)

• Il punto materiale P a causa del filo inestensibile, si potrà solo muovere lungo l'arco di cerchio centrato nel punto di sospensione.
• Il punto materiale è soggetto a due accelerazioni, una tangenziale (perpendicolare al filo) e una centripeta (diretta lungo il filo)
• Proiettando ora la seconda legge di Newton lungo l'asse x otteniamo: \[\begin{aligned} R = - P * \sin {\theta} = m * a \end{aligned} \] da cui segue: \[\begin{aligned} -g * \sin {\theta} = a\end{aligned} \]

Pendolo semplice: ricaviamo T (2/3)

• Introducendo l'accelerazione angolare: \[\begin{aligned} \alpha = \frac {d^2\theta}{dt^2} = \frac{a}{L} \end{aligned} \] otteniamo: \[\begin{aligned} \frac {d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L} * \sin{\theta} \end{aligned} \]

Pendolo semplice: ricaviamo T (3/3)

• Si può dimostrare che se calcoliamo il seno di un angolo molto piccolo (espresso in radianti) vale la proprietà: \[\begin{aligned} \sin{\theta} \approx {\theta} \Rightarrow \frac {d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L} * \theta \end{aligned} \]
equazione molto simile a quella che abbiamo ottenuto nel moto armonico
• Come nel moto armonico possiamo porre: \[\begin{aligned} \omega^2 = \frac{g}{L} \end{aligned} \] e sapendo che: \[\begin{aligned} \omega = \frac{2 * \pi} {T} \Rightarrow T = 2 * \pi * \sqrt{\frac{L}{g}} \end{aligned} \]

Momento angolare

• Si definisce come momento angolare il momento del vettore quantità di moto: \[ \vec L = \vec r \times \vec p = \vec r \times m * \vec v \]



• Il punto O è il polo rispetto a cui è calcolato \(\vec L\)

Momento angolare nel moto curvilineo

• Nel moto curvilineo piano si può esprimere la velocità tramite le sue componenti radiali e tangenti alla traiettoria: \[ \vec{v} = \vec{v_r} + \vec{v_{\theta}} \]
• per cui: \[ \vec L = \vec r \times m * \vec v = \vec r \times m * (\vec{v_r} + \vec{v_{\theta}}) = \vec r \times m \vec{v_{\theta}} \] in quanto \(\vec r\) e \(\vec v_r\) sono paralleli e il loro prodotto vettoriale è nullo.
• Se il polo O sta nel piano del moto \(\vec L\) risulta ortogonale a tale piano e vale in modulo: \[ L = m * r * v_{\theta} = m * r^2 * \frac{d\theta}{dt} \]

Momento della forza

• Il momento della forza, rispetto a un determinato punto O detto polo, è definito come: \[\vec{M_o}\ = \vec{r} x \vec{F}\]

Teorema del momento angolare 1/3

• Se calcoliamo la variazione del momento angolare di un punto materiale P in movimento abbiamo: \[ \frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d\vec{r}}{dt} \times m * \vec{v} + \vec{r} \times m * \frac{d\vec{v}}{dt} \] dove \(\vec{r}\) è il raggio vettore che conginge P al polo O.

Teorema del momento angolare 2/3

• Supponiamo che il polo O sia fermo (nel sistema di riferimento da cui osserviamo il moto): allora \(\frac{d\vec{r}}{dt}\) coincide con la velocità di P e il prodotto vettoriale si annulla.
• Nel secondo termine: \(m * \frac{d\vec{v}}{dt} = m * \vec{a}\) coincide con la forza \(\vec{F}\) applicata al punto P e quindi \(\vec{r} \times \vec{F}\) è il momento della forza rispetto allo stesso polo O. \[\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\]

Teorema del momento angolare 3/3

• La derivata temporale del momento angolare \(\vec{L}\) per un punto materiale è uguale al momento della forza \(\vec{F}\) se entrambi i momenti sono riferiti allo stesso polo fisso di un sistema inerziale. \[\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\]

Conservazione del momento angolare

• Il momento angolare di un punto materiale rimane costante nel tempo (si conserva) se il momento delle forze è nullo: \[\frac{d\vec{L}}{dt} = 0 \Rightarrow \vec{L} = costante\]

Teorema del momento dell'impulso

• Integrando tra l'istante iniziale e l'istante finale t:
  
  \[ \int_{0}^t \vec{M} \mathrm dt = \int_{0}^t (\vec{r} \times \vec{F}) \mathrm dt = \vec{r} \times \int_{0}^t \vec{F} \mathrm dt = \vec{r} \times \vec{J} = \Delta{L} \]
• La variazione del momento angolare è uguale al momento dell'impulso applicato al punto.