Angoli

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Antonio Pierro @antonio_pierro_

Per consigli, suggerimenti, eventuali errori o altro potete scrivere una email a antonio.pierro[at]gmail.com

Cos'è un angolo.

  • Consideriamo due semirette Or e Os, distinte ed aventi la stessa origine O.
  • Le due semirette dividono il piano in due parti, ciascuna delle quali è chiamata angolo.
  • Se le due semirette non sono opposte, uno degli angoli che esse formano è convesso e l'altro è concavo.
  • Il punto O è detto vertice dell'angolo e le semirette Or e Os sono i lati dell'angolo.

Angolo piatto

  • Se i lati Or e Os sono due semirette opposte, il piano viene diviso in due semipiani, ciascuno dei quali si chiama angolo piatto.
  • L'angolo piatto è l'elemento separatore tra gli insiemi degli angoli convessi e concavi.

Angolo giro

  • Se i lati Or e Os sono due semirette coincidenti, uno degli angoli che formano coincide con l'intero piano e viene detto angolo giro, mentre l'altro è detto angolo nullo.

Angoli consecutivi/adiacenti

  • Due angoli si dicono consecutivi se hanno in comune soltanto il vertice ed un lato (fig. sx).
  • Due angoli si dicono adiacenti se sono consecutivi e se inoltre i lati non comuni sono semirette opposte (fig. dx).

Angoli opposti al vertice

  • Due angoli si dicono opposti al vertice se i loro lati sono semirette opposte, ovvero se i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro.
  • Ad esempio, nella figura, le due rette a e b, che si intersecano nel punto O, individuano quattro angoli: tra di essi, \(\alpha\) e \(\beta\) sono opposti al vertice, così come lo sono \(\gamma\) e \(\delta\)

Angolo retto

  • Si chiama angolo retto un angolo che sia la metà di un angolo piatto (o un quarto di un angolo giro).
  • Un angolo è detto acuto se è minore di un angolo retto
  • Un angolo è detto ottuso se è maggiore di un angolo retto.

Angoli complementari/supplementari/esplementari

  • Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono tra loro complementari;
  • Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono tra loro supplementari;
  • Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono tra loro esplementari.

Bisettrice

  • Si chiama bisettrice di un angolo quella semiretta che ha origine nel vertice dell'angolo e lo divide in due parti uguali.
  • Nell'esempio in figura, la semiretta s è bisettrice dell'angolo aOb , ovvero: \[ a\hat{O}s = s\hat{O}b = \frac{1}{2}a\hat{O}b \]

Proprietà degli angoli 1/2

  • Due angoli complementari (o supplementari) di uno stesso angolo o di angoli congruenti sono congruenti.

Angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale

  • Disegniamo DUE RETTE PARALLELE a e b e un'altra retta, che chiamiamo r, e che interseca le rette a e b rispettivamente nei punti A e B.
  • La retta r, incontrando le rette a e b forma 8 angoli che abbiamo indicato, nella figura sottostante, ognuno con un numero da 1 a 8

Angoli alterni interni/esterni

  • Usando un GONIOMETRO possiamo facilmente verificare che sono UGUALI TRA LORO gli ANGOLI:
    • 3 e 6, 4 e 5, cioè gli ANGOLI ALTERNI INTERNI;
    • 1 e 8, 2 e 7, cioè gli ANGOLI ALTERNI ESTERNI

Angoli coniugati interni/esterni

  • Usando un GONIOMETRO possiamo verificare che sono SUPPLEMENTARI gli ANGOLI:
    • 3 e 5 - 4 e 6, cioè gli ANGOLI CONIUGATI INTERNI
    • 1 e 7 - 2 e 8, cioè gli ANGOLI CONIUGATI ESTERNI

Teorema

  • DUE RETTE SONO PARALLELE se, TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE, formano con essa:
    • ANGOLI ALTERNI INTERNI o ESTERNI UGUALI;
    • ANGOLI CONIUGATI INTERNI o ESTERNI SUPPLEMENTARI.

Esempio 1

  • Due rette parallele tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli coniugati interni la cui differenza è di 72°.
  • Quali sono le loro ampiezze?
  • Soluzione: 54°, 126°

Conclusione