Fisica 1 - Energia meccanica

Energia meccanica

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Dato un punto materiale che si muove lungo una traiettoria curvilinea sotto l'azione di una forza \(\vec F\),
si definisce lavoro della forza \(\vec F\), compiuto durante lo spostamento del punto dalla posizione A a B, la quantità scalare:

\[ W = \int_{A}^{B} \vec F * d\vec s = \int_{A}^{B} F * \cos{\theta} * ds = \int_{A}^{B} F_{tangente} * s \]

Si definisce lavoro infinitesimo la quantità:
\[ dW = \vec F * d\vec s = F * \cos{\theta} * ds = F_{tangente} * s \]
Il lavoro si misura in Newton * metro che equivale ad un Joule.

Se sul punto P agiscono n forze, per ciascuna si può calcolare il corrispondente lavoro e risulta:
\[ W = \sum_{i=1}^n W_i = \int_{A}^{B} \vec F_1 * d \vec s + .. + \int_{A}^{B} \vec F_n * d \vec s = W_1 + .. + W_n \]

Si definisce potenza istantanea il lavoro per unità di tempo: \[\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned} \]
Si definisce potenza media il rapporto tra il lavoro totale e l'intervallo di tempo in cui il lavoro è stato svolto: \(\begin{aligned}P = \frac{W}{\Delta t} \end{aligned}\)
A parità di lavoro svolto, ha maggior potenza quella macchina che lo eroga in minor tempo.
L'unità di misura della potenza è il Watt, simbolo W (\(\frac{N * m}{s}\))

Si chiama energia cinetica del punto materiale m la quantità: \[\begin{aligned} K = \frac{1}{2} * m * v^2 \end{aligned} \]
L'unità di misura dell'energia cientica, come di ogni altra forma di energia, è il Newton * metro ed è espressa dal simbolo J (Joule)
Si dimostra che il lavoro fatto dalla forza è uguale alla variazione dell'energia cinetica: \[\begin{aligned} W = \Delta K \end{aligned} \]

Considero il lavoro associato ad uno spostamento infinitesimo \(d\vec s\) di una forza \(\vec F\) tangente allo spostamento: \[ dW = F \thinspace ds = m \thinspace a \thinspace ds = m \thinspace \frac{dv}{dt} \thinspace ds = m \frac {ds}{dt} dv = m v dv \]
Integro lungo un percorso finito che va da un punto A ad un punto B
\[\begin{aligned} W = \int_{A}^{B} m v * dv = \frac{1}{2} * m * {v_B}^2 - \frac{1}{2} * m * {v_A}^2 = \Delta K \end{aligned} \]
Il simbolo \(\Delta\) indica la differenza tra il valore finale e il valore iniziale.

Un campo è un modello matematico che permette di associare ai punti di una certa regione di spazio una particolare proprietà.
Un campo scalare è una funzione che associa uno scalare a ogni punto dello spazio.
Un campo vettoriale è una funzione che associa un vettore a ogni punto dello spazio.
Esempi di campi scalari sono: la distribuzione della temperatura nello spazio o quella della pressione atmosferica.
Esempi di campi vettoriali sono: campo elettromagnetico e campo gravitazionale.

Detto \(\vec v\) il vettore di un campo vettoriale, detto P un generico punto e detto \(d\vec s\) lo spostamento elementare di P,
si chiama circuitazione di \(\vec v\) l'integrale del prodotto scalare "\(\vec v * d\vec s\)" lungo una linea chiusa.
Per questo tipo di integrale lungo una linea chiusa si usa il simbolo: \[\begin{aligned} \oint_C \end{aligned} \] dove C rappresenta il percorso (linea chiusa).
Il simbolo \(\oint_C\) sta ad indicare l’integrale (somma di tutti i prodotti \(\vec v * d\vec s\)) esteso alla linea chiusa scelta C.

Un campo vettoriale si dice conservativo se l'integrale del vettore \(\vec v\) del campo lungo lo spostamento \(d\vec s\) non dipende dal particolare cammino, ma dipende soltanto dalla posizione dei due punti A (posizione iniziale) e B (posizione finale).
Poiché l'integrale dipende soltanto dalla posizione iniziale e da quella finale, l'integrale lungo una linea chiusa (circuitazione \(\oint_C\) ) deve essere necessariamente nullo \[\begin{aligned} \oint_C\ \vec v * d\vec s = 0 \end{aligned} \]

Si dimostra che il lavoro della forza peso non dipende dal particolare spostamento ma soltanto dalla posizione iniziale e quella finale.
Per dimostrarlo basta verificare che l'integrale della forza peso lungo un percorso chiuso sia nullo \[\begin{aligned} \oint_C \vec P * d\vec s = 0 \end{aligned} \]
Quindi il campo vettoriale associato alla forza peso è un campo conservativo. La forza peso viene detta forza conservativa.

Si dimostra che il lavoro della forza d'attrito dipende dal particolare spostamento dalla posizione iniziale e quella finale.
Per dimostrarlo basta verificare che l'integrale della forza d'attrito lungo un percorso chiuso non sia nullo \[\begin{aligned} \oint_C \vec P * d\vec s \ne 0 \end{aligned} \]
Quindi la forza d'attrito non è una forza conservativa.