Fisica 1 meccanica del punto materiale

Meccanica del punto materiale

Per consigli, suggerimenti, eventuali errori o altro potete scrivere una email a antonio.pierro[at]gmail.com

Un corpo non soggetto a forze permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.
La proprietà dei corpi di mantenere il loro stato di quiete o di moto rettilineo uniforme è chiamata inerzia.
Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento in cui è valido il primo principio della dinamica.

Si osserva che l'accelerazione impressa a un corpo di massa nota m è inversamente proporzionale alla sua massa e direttamente proporzionale all'intensità dell'azione a cui viene sottoposto: \[\begin{aligned} \vec a = \frac{\vec F}{m} \end{aligned} \]
La legge di Newton contiene, come caso particolare, il primo principio della dinamica.
Tale legge è verificata solo nei sistemi di riferimento inerziali (altrimenti compaiono altri termini correttivi, le forze apparenti).

Quando due corpi interagiscono,
la forza \(\vec{F}_{i->j}\), che il primo corpo (i) esercita sul secondo corpo (j)
è uguale e opposta alla
forza \(\vec{F}_{j->i}\) che il secoondo corpo (j) esercita sul primo corpo (i)

Si definisce quantità di moto di un punto materiale che si muove con velocità \(\vec{v}\): \[\begin{aligned} \vec p = m * \vec v \end{aligned} \]
Se la massa è costante: \[\begin{aligned} \vec F = \frac{d\vec p}{dt} \end{aligned} \]

Per convenzione, si indica con il simbolo \(\vec{R}\) la risultante (somma) delle forza applicate su un punto materiale.
Affermare che la forza agente su un punto è nulla, spesso indica che la somma delle forze agenti su di esso, cioè la risultante, è nulla: \[\begin{aligned} \vec R = \sum_{i=1}^n \vec F_i = \vec F_1 + \vec F_2 + .... + \vec F_n = 0 \end{aligned} \]

Se un corpo soggetto all’azione di una forza rimane fermo, dobbiamo dedurre la presenza di una forza uguale e contraria applicata al corpo in modo tale che esso rimanga in quiete.
Questa forza sarà chiamata reazione vincolare e sarà indicata con il seguente simbolo \(\vec{N}\)

In prossimità della superficie terrestre tutti i corpi assumono - se lasciati liberi - la stessa accelerazione (detta di gravità) diretta lungo la verticale e il cui modulo in media è: \[\begin{aligned} \vec g = 9,8 \frac{m}{s^2} \end{aligned} \]
Dalla seconda legge di Newton risulta: \[\begin{aligned} \vec P = m * \vec g \end{aligned} \]
In assenza di altre forze il moto del corpo sarà uniformemente accelerato.

Supponiamo di applicare una forza orizzontale su un corpo poggiato su un piano: si osserva che il corpo non entra in movimento finché la forza non supera un valore pari a:

\( \vec F_{as} \leq \mu_s * N *\vec i \) (forza di attrito staticom)
Quando il corpo entra in movimento si osserva una forza costante che si oppone al moto pari a:
\( \vec F_{ad} = \mu_d * N * \vec i \) (forza di attrito dinamico)
Si verifica che la forza di attrito radente statico è sempre maggiore della forza di attrito radente dinamico, cioè: \[\begin{aligned} \mu_{s} > \mu_{d} \end{aligned} \]

Robert Hooke, 1675, Ut tensio sic vis (Come l'estensione, così la forza).
L'allungamento subìto da un corpo elastico è direttamente proporzionale alla forza ad esso applicata.

La costante di proporzionalità viene detta costante elastica e dipende dalla natura del materiale stesso. \[ F = - K \Delta{x} \]

Si definisce forza elastica una forza di:
- direzione costante
- verso rivolto sempre ad un punto O
- Modulo direttamente proporzionale alla distanza da O \[\begin{aligned} \vec F = -k * x * \vec i \end{aligned} \]
- Si dimostra che il moto di un punto soggetto ad una forza elastica è un moto armonico semplice: \[\begin{aligned} x = A \cos {(\omega * t + \phi)} \end{aligned} \] con pulsazione e periodo rispettivamente pari a: \[\begin{aligned} \omega = \sqrt \frac{k}{m} \text{ ; } T = \frac{2\pi}{\omega} \end{aligned} \]

~~Per trovare la legge oraria basta risolvere questa equazione differenziale:~~ \[ \frac{d^2x(t)}{dt^2} = -\frac{k}{m}x(t) = -\omega^2 x(t), \quad \text{ con } \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
Si dimostra che l'equazione: \[ x = A \cos {(\omega * t + \phi)} \] è soluzione dell'equazione differenziale \(\frac{d^2x(t)}{dt^2} = -\omega^2 x(t)\).

La forza di attrito viscoso è una forza che si oppone al moto ed è proporzionale alla velocità del corpo soggetto a tale forza: \[\begin{aligned} \vec F_v = -b\vec v \end{aligned} \]
Esempio: corpo che viene lasciato cadere in un fluido. ~~Si dimostra che la sua velocità in funzione del tempo vale:~~ \[\begin{aligned} v(t) = \frac{m * g}{b} * (1-e^{\frac{-b * t}{m}}) \end{aligned} \]

La risultante delle forze che agiscono su un punto materiale che si muove lungo una circonferenza può essere scomposta in due:
1. Forza tangente: responsabile della variazione del modulo della velocità tangente.
2. Forza centripeta: responsabile della variazione di direzione della velocità tangente. \[\begin{aligned} F_c = m * \frac{v^2}{R} \end{aligned} \]
Se la forza tangente è nulla si ha il moto circolare uniforme

La tensione è la forza di trazione esercitata da una corda, un cavo, una catena, o un analogo oggetto solido su un altro oggetto.
Si osserva in figura che la forza peso della sfera viene bilanciata dalla tensione del filo.
Un filo può esercitare solo forze che hanno la direzione del filo stesso, cioè non può sopportare una sollecitazione ortogonale.

Il pendolo semplice è costituito da un punto materiale P appeso tramite un filo inestensibile di lunghezza L e di massa trascurabile.
Le forze agenti sul punto P sono il peso \(\vec P\) e la tensione del filo \(\vec T\),
quindi la seconda legge della dinamica sarà: \[\begin{aligned} \vec R = \vec P + \vec T = m * \vec a \end{aligned} \]
Si può dimostrare che per piccole oscillazioni il periodo di una oscillazione completa vale: \[\begin{aligned} T = 2 * \pi * \sqrt{\frac{L}{g}} \end{aligned} \]

Si definisce come momento angolare il momento del vettore quantità di moto: \[ \vec L = \vec r \times \vec p = \vec r \times m * \vec v \]

Il momento della forza, rispetto a un determinato punto O detto polo, è definito come: \[\vec{M_o}\ = \vec{r} x \vec{F}\]

Se calcoliamo la variazione del momento angolare di un punto materiale P in movimento abbiamo: \[ \frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d\vec{r}}{dt} \times m * \vec{v} + \vec{r} \times m * \frac{d\vec{v}}{dt} \] dove \(\vec{r}\) è il raggio vettore che conginge P al polo O.

Supponiamo che il polo O sia fermo (nel sistema di riferimento da cui osserviamo il moto): allora \(\frac{d\vec{r}}{dt}\) coincide con la velocità di P e il prodotto vettoriale si annulla.
Nel secondo termine: \(m * \frac{d\vec{v}}{dt} = m * \vec{a}\) coincide con la forza \(\vec{F}\) applicata al punto P e quindi \(\vec{r} \times \vec{F}\) è il momento della forza rispetto allo stesso polo O. \[\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\]

La derivata temporale del momento angolare \(\vec{L}\) per un punto materiale è uguale al momento della forza \(\vec{F}\) se entrambi i momenti sono riferiti allo stesso polo fisso di un sistema inerziale. \[\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\]

Il momento angolare di un punto materiale rimane costante nel tempo (si conserva) se il momento delle forze è nullo: \[\frac{d\vec{L}}{dt} = 0 \Rightarrow \vec{L} = costante\]