Definizione di corpo rigido

• Un corpo rigido è un sistema di punti materiali in cui le distanze tra tutte le possibili coppie di punti non possono variare.
• Quanti parametri occorrono per descrivere il moto di un corpo rigido?

Gradi di libertà di un sistema

• Il numero di parametri necessari per descrive il moto di un sistema si chiama numero di gradi di libertà del sistema.
• Un punto materiale ha tre gradi di libertà (le tre coordinate x, y, z).
• N punti materiali indipendenti hanno 3*N gradi di libertà.

Gradi di libertà di un corpo rigido

• Nel caso di un corpo rigido la condizione che le distanze tra tutte le possibili coppie di punti siano costanti, riduce i gradi di libertà del sistema da 3N (dove N è il numero di particelle) a 6. \[ \forall i,j | i \neq j : (x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 + (z_i - z_j)^2 - d_{ij}^2 = 0 \]
• Infatti, definita la "forma" del corpo rigido, a ogni istante la sua posizione è individuabile da sei valori: tre coordinate di un punto, tre coseni direttori di rotazione intorno agli assi x, y, z solidali al corpo.
• I coseni direttori sono proprio i coseni che la direzione della retta forma con gli assi cartesiani.

Moto di un corpo rigido

• Moto di traslazione: tutti i punti si muovono con la stessa velocità \(\vec{v}\) che coicide con \(\vec{v_{cm}}\)
  • L'equazione del moto sarà: \(\vec{R} = M * \vec{a_{cm}}\)
• Moto di rotazione: tutti i punti descrivono un moto circolare con velocità angolare \(\omega\)
  • L'equazione del moto sarà: \(\vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt}\)
• La combinazione dei due moti è definita come moto di rototraslazione.

Momento d'inerzia per un sistema di n punti materiali

• Sia l'asse z, l'asse di rotazione di un corpo rigido formato da n punti materiali. \[ \vec{L} = \sum_{n=1}^{n}\vec{L_i} = (\sum_{n=1}^{n} \vec{r_i} \times {m_i \vec{v_i}}) = (\sum_{n=1}^{n} m_i r_i^2) \vec{\omega} = I_z \vec{\omega} \]
• Il coefficiente \(I_z\) si chiama momento d'inerzia del corpo rispetto all'asse z. \[ I_z = \sum_{n=1}^{n} m_i r_i^2 = \sum_{n=1}^{n} m_i (x_i^2 + y_i^2) \]

Momento d'inerzia per un corpo continuo

• Il momento d'inerzia per un corpo continuo si deduce da quello di un sistema rigido formato da n punti materiali:

Esempi di corpi con densità di massa lineare

1. Calcolo del momento d'inerzia di un anello di densità lineare \(\lambda = \frac{m}{2 \pi R}\): \[ I = \int R^2 dm = \int \lambda R^2dl = \lambda R^2 \int dl = \lambda R^2 2\pi R = m R^2 \]
2. Calcolo del momento d'inerzia di una sbarra omogenea di densità lineare \(\lambda = \frac{m}{L}\) \[ I = \int x^2 dm = \int_{-L/2}^{L/2} x^2 \lambda dx = \lambda [\frac{x^3}{3}]_{-L/2}^{L/2} = \frac{1}{12} m L^2 \]

Esempi di corpi con densità di massa superficiale

• Momento d'inerzia di una sfera avente densità superficiale \(\sigma\): \[ \sigma = \frac{m}{4 \pi R^2} \quad r = R \sin{\theta} \quad dl = R d\theta \quad \int_0^\pi (\sin{\theta})^3 d\theta =\frac{4}{3} \] \[ I = \int r^2 dm = \sigma \int_S r^2 dS = \sigma \int_0^\pi R^2 \sin{\theta}^2 2 \pi R \sin{\theta} R d\theta = \frac{2}{3} M R^2 \]

Esempi di corpi con densità di massa volumetrica

1. Momento d'inerzia di un cilindro di densità \(\rho = \frac{m}{\pi R^2 h} \): \[ I = \int r^2 dm = \int_0^R r^2 \rho \pi h r dr = \frac{1}{2}mR^2 \]
2. Momento d'inerzia di una sfera piena di densità \(\rho\):
   se si scompone un solido in parti di qualunque forma, il momento d'inerzia totale rispetto a un asse dato è la somma dei momenti d'inerzia delle singole parti rispetto allo stesso asse. \[ I = \int dI = \int_0^M \frac {2}{3}r^2dm \quad \rho = \frac {m}{\frac{4}{3}\pi R^3} dV = 4 \pi r^2 dr \] \[ I = \int dI = \frac {2}{3} \rho \int_0^R r^2 4 \pi r^2 dr = \frac{2}{5} M R^2 \]

Teorema di Huygens-Steiner

• Nei precedenti esempi, per il calcolo dei momenti d'inerzia, abbiamo scelto particolari assi (passanti per il centro di massa) che ci hanno permesso di semplificare il calcolo.
• Il teorema di Huygens-Steiner stabilisce che il momento d'inerzia di un corpo di massa m rispetto a un asse che si trova a una distanza d dal centro di massa del corpo è dato da \[ I = I_{cm} + m d^2 \]
• \(I_{cm}\) è il momento d'inerzia del corpo rispetto a un asse parallelo al primo e passante per il centro di massa.

Dimostrazione del teorema di Huygens-Steiner

• Per dimostrare il teorema consideriamo due assi z e \(z^{'}\), tra loro paralleli, distanti "a" e con asse \(z^{'}\) passante per il centro di massa.
• Per un generico punto \(P_i\), il momento d'inerzia rispetto all'asse z sarà: \[ m_i(x_i^2 + y_i^2), \quad x=x^{'}, \quad y=y^{'} + a, \quad z=z^{'} \]
• Se sommiamo i momenti d'inerzia di tutti i punti: \[ I = \sum_i m_i(x_i^2 + y_i^2) = \sum_i (x_i^{'2} + (y_i^{'} + a)^2) \Rightarrow \] \[ I =\sum_i (x_i^{'2} + y_i^{'2}) + \sum_i m_i a^2 + 2 a \sum_i m_i y_i^{'} = I_{z^{'}} + m a^2 \] \[ \text{Sapendo che} \quad 2 a \sum_i m_i y_i^{'} = m y_{cm}^{'} = 0 \]

Momenti d'inerzia rispetto ad assi passanti per il bordo