Energia meccanica

  • Lavoro
  • Energia meccanica
  • Concetto di campo in Fisica

Antonio Pierro @antonio_pierro_

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Lavoro (1/2)

  • Dato un punto materiale che si muove lungo una traiettoria curvilinea sotto l'azione di una forza \(\vec F\),
    si definisce lavoro della forza \(\vec F\), compiuto durante lo spostamento del punto dalla posizione A a B, la quantità scalare:
    • \[ W = \int_{A}^{B} \vec F * d\vec s = \int_{A}^{B} F * \cos{\theta} * ds = \int_{A}^{B} F_{tangente} * s \]
  • Si definisce lavoro infinitesimo la quantità:
    \[ dW = \vec F * d\vec s = F * \cos{\theta} * ds = F_{tangente} * s \]
  • Il lavoro si misura in Newton * metro che equivale ad un Joule.

Lavoro (2/2)

  • Se sul punto P agiscono n forze, per ciascuna si può calcolare il corrispondente lavoro e risulta:
    \[ W = \sum_{i=1}^n W_i = \int_{A}^{B} \vec F_1 * d \vec s + .. + \int_{A}^{B} \vec F_n * d \vec s = W_1 + .. + W_n \]

Potenza

  • Si definisce potenza istantanea il lavoro per unità di tempo: \[\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned} \]
  • Si definisce potenza media il rapporto tra il lavoro totale e l'intervallo di tempo in cui il lavoro è stato svolto: \(\begin{aligned}P = \frac{W}{\Delta t} \end{aligned}\)
  • A parità di lavoro svolto, ha maggior potenza quella macchina che lo eroga in minor tempo.
  • L'unità di misura della potenza è il Watt, simbolo W (\(\frac{N * m}{s}\))

Energia cinetica

  • Si chiama energia cinetica del punto materiale m la quantità: \[\begin{aligned} K = \frac{1}{2} * m * v^2 \end{aligned} \]
  • L'unità di misura dell'energia cientica, come di ogni altra forma di energia, è il Newton * metro ed è espressa dal simbolo J (Joule)
  • Si dimostra che il lavoro fatto dalla forza è uguale alla variazione dell'energia cinetica: \[\begin{aligned} W = \Delta K \end{aligned} \]

Dimostrazione del teorema dell'energia cinetica

  • Considero il lavoro associato ad uno spostamento infinitesimo \(d\vec s\) di una forza \(\vec F\) tangente allo spostamento: \[ dW = F \thinspace ds = m \thinspace a \thinspace ds = m \thinspace \frac{dv}{dt} \thinspace ds = m \frac {ds}{dt} dv = m v dv \]
  • Integro lungo un percorso finito che va da un punto A ad un punto B
    \[\begin{aligned} W = \int_{A}^{B} m v * dv = \frac{1}{2} * m * {v_B}^2 - \frac{1}{2} * m * {v_A}^2 = \Delta K \end{aligned} \]
  • Il simbolo \(\Delta\) indica la differenza tra il valore finale e il valore iniziale.

Campo

  • Un campo è un modello matematico che permette di associare ai punti di una certa regione di spazio una particolare proprietà.
  • Un campo scalare è una funzione che associa uno scalare a ogni punto dello spazio.
  • Un campo vettoriale è una funzione che associa un vettore a ogni punto dello spazio.
  • Esempi di campi scalari sono: la distribuzione della temperatura nello spazio o quella della pressione atmosferica.
  • Esempi di campi vettoriali sono: campo elettromagnetico e campo gravitazionale.

Circuitazione

  • Detto \(\vec v\) il vettore di un campo vettoriale, detto P un generico punto e detto \(d\vec s\) lo spostamento elementare di P,
    si chiama circuitazione di \(\vec v\) l'integrale del prodotto scalare "\(\vec v * d\vec s\)" lungo una linea chiusa.
  • Per questo tipo di integrale lungo una linea chiusa si usa il simbolo: \[\begin{aligned} \oint_C \end{aligned} \] dove C rappresenta il percorso (linea chiusa).
  • Il simbolo \(\oint_C\) sta ad indicare l’integrale (somma di tutti i prodotti \(\vec v * d\vec s\)) esteso alla linea chiusa scelta C.

Campo conservativo

  • Un campo vettoriale si dice conservativo se l'integrale del vettore \(\vec v\) del campo lungo lo spostamento \(d\vec s\) non dipende dal particolare cammino, ma dipende soltanto dalla posizione dei due punti A (posizione iniziale) e B (posizione finale).
  • Poiché l'integrale dipende soltanto dalla posizione iniziale e da quella finale, l'integrale lungo una linea chiusa (circuitazione \(\oint_C\) ) deve essere necessariamente nullo \[\begin{aligned} \oint_C\ \vec v * d\vec s = 0 \end{aligned} \]

Circuitazione della forza peso

  • Si dimostra che il lavoro della forza peso non dipende dal particolare spostamento ma soltanto dalla posizione iniziale e quella finale.
  • Per dimostrarlo basta verificare che l'integrale della forza peso lungo un percorso chiuso sia nullo \[\begin{aligned} \oint_C \vec P * d\vec s = 0 \end{aligned} \]
  • Quindi il campo vettoriale associato alla forza peso è un campo conservativo. La forza peso viene detta forza conservativa.

Circuitazione della forza d'attrito

  • Si dimostra che il lavoro della forza d'attrito dipende dal particolare spostamento dalla posizione iniziale e quella finale.
  • Per dimostrarlo basta verificare che l'integrale della forza d'attrito lungo un percorso chiuso non sia nullo \[\begin{aligned} \oint_C \vec P * d\vec s \ne 0 \end{aligned} \]
  • Quindi la forza d'attrito non è una forza conservativa.

Potenziale scalare del campo vettoriale

  • Dato un campo vettoriale \(\vec V\) conservativo nello spazio \(\tau\) allora esiste una funzione scalare \(\varphi\) definita nello stesso dominio tale che:
    • \[\begin{aligned} \vec V = -\vec {\nabla}\varphi \end{aligned} \]
  • La variazione del potenziale scalare nello spazio o gradiente definisce a sua volta una grandezza vettoriale che è il campo vettoriale.
  • Le tre componenti di \(\vec V\) sono date da: \[\begin{aligned} V_x(x, y, z) = - \frac {\partial \varphi}{\partial x} (x, y, z) \end{aligned} \] \[\begin{aligned} V_y(x, y, z) = - \frac {\partial \varphi}{\partial y} (x, y, z) \end{aligned} \] \[\begin{aligned} V_z(x, y, z) = - \frac {\partial \varphi}{\partial z} (x, y, z) \end{aligned} \]

Potenziale scalare della forza peso

  • Se calcoliamo il lavoro della forza peso per uno spostamento generico dalla posizione A alla posizione B (supponendo l'asse y parallelo e di verso opposto alla forza peso) otteniamo: \[\begin{aligned} W = - (m * g * y_b - m * g * y_a) \end{aligned} \]
  • Se indiachiamo con \(E_p = m * g * y\) una funzione della coordinata y del punto otteniamo: \[\begin{aligned} W = - \Delta E_p \end{aligned} \]
  • La funzione \(E_p = m * g * y\) viene detta energia potenziale della forza peso.

Potenziale scalare della forza elastica

  • Se calcoliamo il lavoro della forza elastica per uno spostamento generico dalla posizione A alla posizione B (suponendo l'asse x parallelo alla forza elastica) otteniamo: \[ L = \int_{A}^{B} -k x dx = -k\int_{A}^{B} x dx = \frac {1}{2} k {x_a}^2 - \frac {1}{2} k {x_b}^2 \]
  • Ponendo \(E_{potenziale\_elastico} = \frac {1}{2} * k * x^2\) funzione solo della posizione: \[\begin{aligned} W = - \Delta E_{pe} \end{aligned} \]
  • La funzione \[E_{potenzaiale\_elastico} = \frac {1}{2} * k * x^2\] viene detta energia potenziale elastica.

Forze conservative (riepilogo)

  • I tre esempi di calcolo di lavoro (forza peso, forza elastica e forza d'attrito) presentano una differenza sostanziale:
    • nel caso della forza peso e della forza elastica il lavoro dipende solo dalle coordinate spaziali A e B e non dal particolare percorso
    • nel caso della forza d'attrito il lavoro dipende dal particolare percorso
  • Le forze del primo tipo vengono dette forze conservative e per tutte queste forze si definisce una funzione chiamata energia potenziale tale che: \[ W = E_{p,A} - E_{p,B} = -\Delta E_p \]

Principio di conservazione dell'energia meccanica (PCME)

  • Se agiscono solo forze conservative valgono le seguenti relazioni: \[\begin{aligned} L = \Delta K = K_B - K_A \end{aligned} \] \[\begin{aligned} L = -\Delta E_p = E_{p,A} - E_{p,B} \end{aligned} \]
  • Eguagliando le due relazioni si ha: \[\begin{aligned} K_B - K_A = E_{p,A} - E_{p,B} \Longleftrightarrow E_m = K + E_p = costante \end{aligned} \]
  • La somma dell'energia cinetica e dell'energa potenziale di un punto materiale che si muove sotto l'azione di forze conservative resta costante durante il moto. Tale somma si chiama energia meccanica.

Quando non si conserva l'energia: sistemi dissipativi

  • Il PCEM può essere un valido strumento per studiare, al contrario, la non conservazione dell'energia meccanica: è sensato pensare che, allorquando viene violata la conservazione, l'energia perduta è stata dissipata dalle forze di attrito.
  • In ultima analisi, effettuando un bilancio energetico è possibile risalire all'entità delle forze non conservative che interessano il sistema: basterà vedere di quanto è variata l'energia meccanica del sistema tra la fase finale e quella iniziale.
  • In altre parole: \[ L_{attriti} = \Delta E \]