Fluido

• Si definisce fluido una sostanza (liquida o gassosa) che assume la forma del recipiente che la contiene.
• Differenze tra liquidi e gas:
  • la densità dei liquidi è molto maggiore di quella dei gas. \[ \rho_{H_2O} = 10^3 \frac{kg}{m^3}, \quad \rho_{aria} = 1.3 \frac{kg}{m^3} \]
  • I liquidi sono incomprimibili, mentre un gas risulta comprimibile con facilità.

Pressione

• Si definisce pressione in un punto del fluido il rapporto tra la forza agente su una superficie infinitesima che circonda il punto e l'area della superficie stessa: \[ P = \frac{dF}{dS} \quad (\frac{N}{m^2}, Pascal) \]
• Se S è una superficie finita nella quale la pressione è costante: \[ P = \frac{F}{S} \]

Legge di Stevin

• Preso un asse z orientato verso il basso, la pressione all'interno del fluido varia con la coordinata z seconda la legge: \[ p(z) = p_0 + \rho g h \]
• La legge di Stevin può essere ottenuta molto semplicemente calcolando il peso della colonna di liquido alta z: \[ m * g= \rho * V * g = \rho * S * z * g \] \[ \Rightarrow p = \frac{F}{S} = \rho * g * z \]

Principio di Pascal

• Il principio di Pascal afferma che ogni cambiamento della pressione esterna dà luogo a un'eguale variazione di pressione nel fluido: \[ p = p_0 + \Delta p \]
• Attenzione: in un piccolo volume di gas, \(\Delta{p}\) è molto minore di \(p_0\) e quindi, con buona approssimazione, la pressione nel gas è ovunque costante e pari al valore della pressione esterna \(p_0\).

Vasi comunicanti

• Consideriamo un sistema di recipienti in comunicazione tra loro, riempiti dello stesso liquido e aperti nello stesso ambiente.
• Il liquido nei vari recipienti assume lo stesso livello rispetto al suolo.
• Questo risultato esprime il principio dei vasi comunicanti.

Manometro 1/2

• Il manometro è uno strumento di misura della pressione dei fluidi costituito da un tubo a forma di U.
• Se i due rami comunicano con ambienti a diverse pressioni si produce un dislivello tra le due superficie libere dato da: \[ h = \frac{p_1 - p_2}{\rho g}, \quad \] in accordo con la legge di Stevin.

Manometro 2/2

Se il tubo a U contiene due liquidi diversi non miscibili di densità \(\rho_1\) e \(\rho_2\) e le superficie libere sono a contatto con lo stesso ambiente (la linea tratteggiata è equipotenziale): \[ \rho_1 * g * z_1 = \rho_2 * g * z_1 \Rightarrow \] \[ \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{z_2}{z_1} = 1 - \frac{h}{z_1} \]

Barometro di Torricelli

• Considero il manometro a U con un ramo chiuso e un ramo aperto in un ambiente a pressione atmosferica.
• Se il riempimento con mercurio è effettuato opportunamente, senza fare entrare aria nella parte chiusa, si osserva che il dislivello h tra le due superfici libere è di circa 76 cm.

• Poichè nel ramo chiuso c'è il vuoto, il dislivello è dovuto solo alla pressione atmosferica che vale dunque \(\rho * g * h, \quad \rho_{Hg} = 13.59 \frac{g}{cm^3} \Rightarrow \ 1.013 * 10^5 Pa\)

Flusso di un campo vettoriale

• In Matematica, il flusso di un campo vettoriale \(\vec{V}\) attraverso una superficie orientata S è definito come l'integrale di superficie del prodotto scalare del campo vettoriale \(\vec{V}\) con il versore normale della superficie, esteso su tutta la superficie stessa. \[ \Phi = \int_S \vec{V} d\vec{S} = \int_S \vec{V} \vec{n}dS \]

Portata di un fluido

• Per un fluido in moto dentro un condotto, la portata Q è il volume di fluido che passa attraverso una sezione S del condotto nell'unità di tempo.

• Se \(\vec{v}(x, y, z)\) è il campo delle velocità nella sezione S, e \(\vec{n}\) è il versore perpendicolare alla superficie, si dimostra che la portata è uguale al flusso del campo delle velocità integrato sulla superficie S: \[ Q = \int_S \vec{v}(x, y, z) * \vec{n} \Rightarrow \] \[ \text{(se v è costante) } |Q| = S * v * \cos(\theta) \]

Teorema di Bernulli

• Quando un fluido ideale si muove in regime stazionario (le molecole del fluido si muovono con la stessa velocità in qualsiasi punto della sezione) lungo un condotto, vale il teorema di Bernulli: \[ p + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = costante \]
• In ogni sezione del condotto la somma della pressione, dell'energia cinetica per unità di volume e dell'energia potenziale per unità di volume è costante.

Esempio: aneurisma

• Un aneurisma è una dilatazione progressiva di un segmento vascolare. \[ v_2 < v_1 \Rightarrow p_2 > p_1 \]
  \[ p_1 - p_2 = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2), \quad v_2 = \frac{S_1}{S_2}v_1 \]

Teorema di Torricelli

• Se in un recipiente di sezione S, pieno di liquido, viene praticato un foro di sezione molto minore di S a una profondità h rispetto alla superficie libera del liquido, la velocità con cui il liquido esce dal foro è: \[ v = \sqrt{2 g h} \]

Teorema di Torricelli, dimostrazione

• Sulla superficie libera \(p = p_0\) e v = 0 e, assumendo il livello del foro come punto di riferimento, z = h
• All'uscita del foro \(p = p_0\) e z = 0. Pertanto:

\[ p_0 + \rho * g * h = p_0 + \frac{1}{2} \rho v^2 \Rightarrow v = \sqrt{2gh} \]