Fisica 1 meccanica dei sistemi di punti materiali

Meccanica dei sistemi di punti materiali

Per consigli, suggerimenti, eventuali errori o altro potete scrivere una email a antonio.pierro[at]gmail.com

Dato un sistema di punti materiali,
dato un particolare sistema di riferimento,
si definisce centro di massa il punto geometrico la cui posizione è individuata dal raggio vettore: \[ \vec{r}_{cm} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n m_i * \vec{r_i}}{\sum\limits_{i=1}^n m_i} \]
La posizione del centro di massa non dipende dal particolare sistema di riferimento, mentre le sue coordinate dipendono dal sistema di riferimento prescelto.

Supponendo di avere n punti in movimento, la posizione del centro di massa varierà: \[ \vec{v}_{cm} = \frac{d\vec{r}_{cm}}{dt} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n \frac{m_i * d\vec{r}_i}{dt}}{\sum\limits_{i=1}^n m_i} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n m_i * \vec{v}_i}{\sum\limits_{i=1}^n m_i} = \frac{\vec{P}}{M} \]
Vediamo quindi che \(\vec{P}\) coincide con la quantità di moto \(M * \vec{v}_{cm}\) del centro di massa, considerato come un punto materiale avente massa pari alla massa M totale del sistema.

Ricaviamo l'accelerazione del centro di massa: \[ \vec{a}_{cm} = \frac{d\vec{v}_{cm}}{dt} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n m_i * \frac{d\vec{v}_i}{dt}}{\sum\limits_{i=1}^n m_i} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n m_i * \vec{a}_i}{\sum\limits_{i=1}^n m_i} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n m_i * \vec{a}_i}{M} \] \[ M\vec{a}_{cm} = \sum\limits_{i=1}^n m_i * \vec{a}_i = \sum\limits_{i=1}^n (\vec{F}_i^{(E)} + \vec{F}_i^{(I)})) = \vec{R}^{(E)} + \vec{R}^{(I)} = \vec{R}^{(E)} \]
Il centro di massa si muove come un punto materiale in cui è concentrata tutta la massa del sistema e a cui è applicata la risultante delle forze esterne.

\[ \vec{R}^{(E)} = M * \vec{a}_{cm} = M * \frac{d\vec{v}_{cm}}{dt} = \frac{d}{dt} (M * \vec{v}_{cm}) = \frac{d\vec{P}}{dt} \]

La risultante delle forze esterne è uguale alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto totale del sistema.
Il moto del centro di massa è determinato solo dalle forze esterne.
Il moto di ciascun punto dipende dall'azione delle forze esterne e interne agenti su di esso.

I teoremi di König stabiliscono le relazioni tra i momenti angolari e le energie cinetiche di un sistema di punti materiali, valutati rispetto a un sistema di riferimento inerziale e al sistema di riferimento del centro di massa.

Il primo teorema di König o teorema di König per il momento angolare afferma che:

Il momento angolare del sistema si può scrivere, nel sistema di riferimento inerziale, come somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa, \(\vec{L_{cm}}\), e di quello del sistema rispetto al centro di massa \(L^{'}\).
In formula: \[ \vec{L} = \vec{L^{'}} + \vec{r_{cm}} \times M\vec{v_{cm}} = \vec{L^{'}} + \vec{L_{cm}} \]

Il secondo teorema di König o teorema di König per l'energia cinetica afferma che:

L'energia cinetica del sistema di punti si può scrivere, nel sistema di riferimento inerziale, come la somma dell'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa e di quella del sistema rispetto al centro di massa.
In formula: \[ E_{cinetica} = E_{cinetica}^{'} + \frac{1}{2}M * v_{cm}^2 \]

Per la dimostrazione dei teoremi di König definiamo il sistema del centro di massa rispetto al sistema inerziale.
Il sistema del centro di massa ha le seguenti caratteristiche:

origine nel centro di massa,
gli assi hanno la stessa direzione del sistema inerziale,
è inerziale solo se \(\vec{R^{(E)}} = 0\) perchè implica che \(\vec{a_{cm}} = 0\).

Indicando con gli apici le grandezze relative al sistema del centro di massa, abbiamo: \[\vec{r_i} = \vec{r_{cm}} + \vec{r_i}^{'}\] \[\vec{v_i} = \vec{v_{cm}} + \vec{v_i}^{'}\]
Quando si assume il centro di massa come sistema riferimento si ha: \[\vec{r_{cm}}^{'} = 0\] \[\vec{v_{cm}}^{'} = 0\]

Si definisce urto tra due punti materiali un'interazione che avviene in un intervallo di tempo trascurabile rispetto al tempo di osservazione del sistema.
Le forze che si manifestano durante l'urto sono forze interne al sistema.
In assenza di forze esterne si verifica la conservazione della quantità di moto.
In assenza di momento di forze esterne si verifica la conservazione del momento angolare.

Un urto si dice completamente anaelastico quando i due punti restano attaccati dopo l'urto formando un unico corpo puntiforme di massa \( m_1 + m_2\)
se \(\vec{v_1}\) e \(\vec{v_2}\) sono le velocità dei due punti nell'istante prima dell'urto e \(\vec{v}^{'}\) la velocità comune immediatamente dopo l'urto, si ha: \[ m_1 * \vec{v_1} + m_2 * \vec{v_2} = (m1 + m2) \vec{v}^{'} = (m1 + m2) \vec{v_{cm}} \]
Subito dopo l'urto i punti si muovono con la stessa velocità che aveva il centro di massa.

Calcoliamo l'energia cinetica prima e dopo l'urto applicando il secondo teorema di König: \[ E_{cinetica, iniziale} = \frac{1}{2} * m v_1^2 + \frac{1}{2} * m v_2^2 = E_{k}^{'} + \frac{1}{2} (m_1 + m_2) * v_{cm}^2 \] \[ E_{cinetica, finale} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) * v_{cm}^2 \]
Nell'urto completamente anaelastico viene assorbita l'energia \(E_{k}^{'}\) (l'energia cinetica rispetto al centro di massa prima dell'urto). Infatti, dopo l'urto non c'è moto rispetto al centro di massa.

Si definisce urto elastico un urto durante il quale si conserva l'energia interna del sistema.
Nell'urto elastico possiamo utilizzare le equazioni: \[ \vec{P}_{iniziale} = \vec{P}_{finale} \] \[ {E_{cinetica,iniziale}} = {E_{cinetica,finale}} \]
I due corpi che si urtano subiscono durante l'urto delle deformazioni elastiche, riprendendo la configurazione iniziale subito dopo l'urto.

Si definisce urto anaelastico un urto in cui:
- dopo l'urto i punti restano separati,
- la quantità di moto del sistema si conserva,
- l'energia cinetica non si conserva.

Un proiettile di massa (m1) 50 g e con velocità (v) 40 m/s si conficca in un blocco di massa (m2) 400 g.
Il proiettile si muove orizzontalmente e il blocco si trova inizialmente in quiete.
Determinare:
1. la velocità del sistema dopo l'urto (v'),
2. la percentuale di energia dissipata dopo l'urto.

Imponiamo la conservazione della quantità di moto prima e dopo l'urto: \[ m_1 v = m_1 v^{'} + m_2v^{'} = (m_1 + m_2) v^{'} \] \[ v^{'} = \frac{m_1}{m_1+m_2} v = 4,44 m/s \]
Calcoliamo ora la percentuale (P) di energia dissipata: \[ P = \frac{T - T^{'}}{T}, \quad T^{'} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2) v^{'2} \Rightarrow P = 0.88 \]