Introduzione alla Geometria

  • Cos'è una definizione?
  • Cos'è un concetto primitivo?
  • Postulati o assiomi
  • Che cos'è un teorema?
  • Conclusione

Antonio Pierro @antonio_pierro_

Per consigli, suggerimenti, eventuali errori o altro potete scrivere una email a antonio.pierro[at]gmail.com

Cos'è una definizione? 1/2

  • Una definizione è una frase nella quale si spiega cos'è un certo concetto, in termini di concetti più semplici, assegnandogli anche un opportuno nome che lo identifica.
  • Ad esempio la proposizione: la forza peso (o più semplicemente peso) agente su un corpo è la forza che il campo gravitazionale esercita su una massa verso il centro della Terra è la definizione di "peso".

Cos'è una definizione? 2/2

  • Una definizione potrà essere compresa soltanto se chi la legge conosce il significato degli altri vocaboli presenti nell'enunciato della definizione stessa.
  • Per esempio, capiremo cos'è il peso di un corpo solo se conosciamo il significato dei termini: "forza", "campo", ecc..
  • Questa serie di definizioni non può andare avanti all'infinito
  • È necessario, pertanto, che vi siano dei termini che rimangono non definiti.

Cos'è un concetto primitivo?

  • Oggetti che non possono essere definiti in termini di concetti più semplici
  • I primi concetti che tratteremo come enti primitivi sono quelli di punto, retta e piano.
  • Di essi, quindi, non diamo nessuna definizione esplicita, nessuna spiegazione diretta su che cosa essi siano, supponendo che, almeno a livello intuitivo, tutti sappiamo riconoscerli.

Postulati o assiomi 1/2

  • Le proprietà di questi enti primitivi saranno definite attraverso delle proposizioni che vengono dette postulati o assiomi.
  • Un esempio di postulato è la frase "per due punti distinti passa una ed una sola retta".

Postulati o assiomi 2/2

  • I nostri postulati devono godere di alcune proprietà:
    • non devono portare a contraddizioni: non deve essere possibile ricavare da essi che una certa proprietà è vera e, con un altro ragionamento, che la stessa proprietà è falsa;
    • devono essere indipendenti tra loro: un postulato non deve essere conseguenza logica degli altri.

Che cos'è un teorema? 1/2

  • Un teorema è una proposizione nella quale si afferma che certe premesse (ipotesi) implicano determinate conclusioni (tesi), la cui verità, non essendo ovvia, si deve dimostrare mediante un ragionamento logico.

Che cos'è un teorema? 2/2

  • Un esempio è costituito dal Teorema di Pitagora: se un triangolo è rettangolo, allora il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti
  • Tale proposizione è molto più complessa di un postulato e la sua validità generale non può essere accettata per fede.

Conclusione

  • Sono primitivi quegli enti che non definiamo esplicitamente;
  • Chiamiamo postulati quelle proprietà che supponiamo essere vere e che pertanto non dimostriamo.
  • I postulati caratterizzano gli enti primitivi, dandone così una definizione implicita.
  • Quella di cui ci occupiamo è la geometria euclidea.