Calcolo delle probabilità

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Permutazioni semplici - esempio 1/2

Quanti numeri diversi di 5 cifre posso formare con le cifre 1, 2, 3, 4, 5?
Nel numero che potrò fare la cifra 1 potrà essere al 1° posto, oppure al 2° posto, oppure al 3° posto, oppure al 4° posto, oppure al 5° posto; cioè per la cifra 1 ho 5 possibilità
Per la cifra 2 (avendo già messo la cifra 1) invece ho solo 4 possibilità perchè un posto è già occupato dalla cifra 1
Per la cifra 5 ho solo una possibilità perchè quattro posti sono già occupati dalle cifre 1, 2, 3 e 4 e il 5 va nel posto che resta vuoto.

Il numero di permutazioni semplici su n oggetti \(P_n\) è dato dal prodotto del numero n per tutti i suoi antecedenti: \[ P_n = n * (n-1) * (n-2) * ..... * 3 * 2 * 1 \]
Per antecedenti di un numero si intendono i numeri che lo precedono nella successione naturale: ad esempio gli antecedenti di 6 sono i numeri 1, 2, 3, 4, 5

Quanti anagrammi (anche senza significato) posso fare con le lettere della parola cane?
Sono 4 oggetti quindi: \[ P_4 = 4 * 3 * 2 * 1 \]

Abbiamo bisogno di scrivere in modo più compatto un insieme di prodotti del tipo: \[ 10 * 9 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 \]
Useremo la notazione 10 * 9 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 10!
Quindi nella formula per calcolare le permutazioni semplici su n oggetti potremo scrivere: \[ P_n = n! \]
Per convenzione si pone 0! = 1

Vediamo cosa succede quando alcuni degli oggetti su cui dobbiamo fare le permutazioni sono uguali;
Facciamo un esempio con 4 oggetti di cui 3 uguali: a b b b

Ma ssenza colori le lettere b sarebbero indistinguibili tra loro e pertanto ogni colonna diventerebbe un termine singolo \[ a b b b \ \ b a b b \ \ b b a b \ \ b b b a \]
Allora per avere le permutazioni su 4 oggetti di cui 3 identici dovrò fare le permutazioni su 4 oggetti e dividerle per le permutazioni su tre oggetti: \[ P_{4;3} = \frac{P_4}{P_3} = \frac {4!}{3!} = 4 \]

Dato un insieme formato da "n" oggetti
Siano "\(n_1\)" gli oggetti di un tipo, "\(n_2\)" di un altro tipo, etc. fino a "\(n_k\)" , con \(n=n_1+n_2+\cdots + n_k\),
il numero di risultati distinti è: \[ \binom {n} {n_1, \cdots, n_k} = \frac{n!}{n_1! * \cdots * n_k!} \]

Considero cinque oggetti: \[ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \]
Se considero gli elementi uno ad uno allora ho 5 possibilità: \[ a_1 \ \ a_2 \ \ a_3 \ \ a_4 \ \ a_5 \\ D_{5;1} = 5 \]

Se considero le coppie ordinate, allora ad ogni elemento precedente ne devo aggiungere 4 (uno alla volta) cioè: \[ D_{5:2} = 5 * 4 = 20 \]

Considero una gara di atletica in cui ci sono 10 partecipanti
Verranno premiati solo i primi tre.
Quanti sono i possibili podi?
Quante sequenze ordinate di tre elementi posso ottenre da un insieme di dieci elementi? \[ E_{10:3} = 10 * 9 * 8 = 720 \]

Le disposizioni semplici su n oggetti sono i numeri delle coppie ordinate \(D_{n;2}\), terne ordinate \(D_{n;3}\), ...., k-uple ordinate \(D_{n;k}\) che posso formare con n oggetti;
Il numero delle disposizioni semplici di n oggetti presi k a k e' uguale al prodotto di tutti i numeri naturali compresi fra n ed (n-k+1) \[ D_{n;k} = n * (n - 1) * .... * (n - k + 1) = \frac{n!}{(n-k)!} \]
Per k = n ricado nel caso delle "permutazioni".

Le disposizioni con ripetizione su n oggetti sono i numeri delle coppie ordinate D^{'}_{n;k}, terne ordinate D^{'}_{n;3}, ..., k-uple ordinate D^{'}_{n;k} che posso formare con n oggetti, considerando che tali oggetti possono anche essere ripetuti.
Equivale al problema di estrarre un numero da un sacchetto e, prima di procedere alla seconda estrazione, rimettere il numero nel sacchetto in modo da poterlo riestrarre.
Ad esempio le disposizioni con ripetizione di classe 2 su 3 oggetti, cioe' le coppie che posso formare con i 3 oggetti 1, 2, 3 saranno: \[ 1 1 \ \ 1 2 \ \ 1 3 \\ 2 1 \ \ 2 2 \ \ 2 3 \\ 3 1 \ \ 3 2 \ \ 3 3 \\ \]

In generale le disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k saranno: \[ D^{'}_{n;k} = n^k \]
Come esercizio calcoliamo il numero di colonne che dovrei giocare per essere sicuro di vincere nella schedina del totocalcio.
Sono disposizioni con ripetizione di 3 oggetti (1,x,2) presi 13 a 13: \[ D^{'}_{3;13} = 3^{13} = 1594323 \]

Il sistema attuale prevede quattro lettere e tre numeri: \[ A A \ \ 0 0 0 \ B B \]
Sapendo che l'alfabeto è costituito da 26 lettere: \[ D^{'}_{25,2} \ * \ D^{'}_{10,3} \ * \ D^{'}_{25,2} = 25^2 * 10^3 * 25^2 = 390 625 000 \]

Nel calcolo combinatorio, se n e k sono due interi positivi, si definisce combinazione di n elementi presi k alla volta (oppure di n elementi di classe k) ogni sottoinsieme di k oggetti estratti da un insieme di n oggetti.
Se si impone la condizione che una combinazione non può avere un elemento ripetuto si parla di combinazioni semplici, altrimenti di combinazioni con ripetizione.

Le due caratteristiche principali delle combinazioni semplici sono:
- l'ordine degli elementi in ciascun raggruppamento non ha importanza
- ogni elemento può comparire, in ogni gruppo, al massimo una volta, ovvero gli elementi di ogni raggruppamento sono distinti

Dato un insieme A di cardinalità n, il numero dei sottoinsiemi di A di cardinalità k ≤ n si ottiene calcolando:

prima il numero delle funzioni da un generico sottoinsieme di cardinalità k in A, che è il numero delle disposizioni di n elementi di classe k
poi, dal momento che si prescinde dall'ordine, si divide tale numero per quello delle permutazioni di k elementi: \[ C_{n,k} = \frac{D_{n,k}}{P_k} = \frac{n!}{(n - k)! * k!} = \binom {n}{k} \]

Sia dato un insieme di n elementi distinti e sia k un numero naturale. Tutti i raggruppamenti che si possono formare con k degli n elementi in modo che:
- ogni raggruppamento contenga esattamente k elementi;
- ogni elemento può essere ripetuto fino a k volte in ogni raggruppamento;
- ogni raggruppamento differisca dagli altri per almeno un elemento e non per l'ordine

Si dicono combinazioni con ripetizione di classe k e si indicano con \(C^{'}_{n;k}\) dove n indica il numero totale degli elementi dell'insieme di partenza e k il numero degli elementi che dovrà contenere ogni ragruppamento
Il numero delle combinazioni con ripetizione è dato da: \[ C^{'}_{n;k} = \binom{n + k - 1}{k} = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!} \]

Permutazioni semplici	\(P_n = n!\)
Permutazioni con ripetizioni	\(P^{'}_{n} = \binom {n} {n_1, \cdots, n_k} = \frac{n!}{n_1! * \cdots * n_k!}\)
Distribuzioni semplici	\(D_{n;k} = n (n-1) .... (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}\)
Distribuzioni con ripetizioni	\(D^{'}_{n;k} = n^k\)
Combinazioni semplici	\(C_{n,k} = \frac{D_{n,k}}{P_k} = \frac{n!}{(n - k)! * k!} = \binom {n}{k}\)