Punti, rette e piani 1/2

• Gli enti che assumiamo come primitivi, e mediante i quali definiremo gli altri oggetti geometrici sono i punti, le rette e i piani.
• Si usa indicare:
  • i punti con lettere maiuscole: A, B, C, ... ;
  • le rette con lettere minuscole: a, b, c, ... ;
  • i piani con lettere minuscole greche: \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) ... .

Punti, rette e piani 2/2

• il punto A appartiene alla retta r;
• la retta r passa per il punto A;
• i punti A e B appartengono al piano \(\alpha\)
• la retta r giace sul piano \(\alpha\)
• le rette s e t si intersecano nel punto C.

Segmento

• Data una retta r, fissiamo su di essa due punti A e B.
• Si chiama segmento AB il sottoinsieme della retta r costituito da tutti i punti P compresi fra A e B.
• I punti A e B si chiamano estremi del segmento AB.

Segmenti consecutivi

• Si dice che due segmenti AB e BC sono consecutivi se hanno in comune soltanto un estremo, che, nel nostro caso, è B

Segmenti adiacenti

• Si dice che due segmenti LM e MN sono adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta

Semiretta

• Diciamo semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo punto, a sua volta detto origine delle due semirette.
• Nella figura, il punto O divide la retta r nelle due semirette OA e OB.
• La semiretta è infinita, ha un inizio ma non una fine, e ha una sola dimensione: la lunghezza.

Rette parallele

• Due rette r ed s contenute nello stesso piano si dicono parallele se non hanno alcun punto in comune
• con linguaggio insiemistico: \(r \bigcap s = \varnothing \)
• Per indicare che r ed s sono parallele si scrive: \(r \parallel s\)

Rette incidenti

• Se le rette r ed s hanno un punto in comune, vengono dette rette incidenti.
• Il punto \( I = r \cap s \) è detto punto di intersezione tra r ed s.

Rette ortogonali o normali

• Due rette incidenti si dicono perpendicolari (o ortogonali, o normali) se, intersecandosi, dividono il piano in quattro angoli uguali.
• Osserviamo che ciascuno di tali angoli sarà 1⁄4 dell'angolo giro, e quindi sarà un angolo retto.
• Per indicare che le rette r ed s sono perpendicolari, si scrive: \(r \perp s \)

Geometria euclidea

• La geometria euclidea è la geometria che si basa sui cinque postulati di Euclide e in particolar modo sul postulato delle parallele.
• Le geometrie che si basano su postulati diversi da quelli elencati da Euclide sono dette geometrie non euclidee.

Postulati di Euclide

1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta;
2. Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;
3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;
4. Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro;

Postulato delle parallele o quinto postulato di Euclide

• Data una retta r, e dato un punto P non appartenente ad r, esiste una ed una sola retta s passante per P e parallela ad r.

Geometrie alternative

• accettando il postulato delle parallele come l'abbiamo enunciato si ottene la geometria euclidea.
• Possiamo rifiutare il postulato precedente e ammettere che:
  • Data una retta r, e dato un punto P non appartenente ad r, non esiste nessuna retta s passante per P e parallela ad r (geometria non euclidea detta di Riemann. )
  • Data una retta r, e dato un punto P non appartenente ad r, esistono infinite rette s passanti per P e parallele ad r (geometria non euclidea detta di Lobacevskij)